三角函数型与指数型傅里叶变换的联系

三角函数型

对于一个周期为 \(T\) 的信号 \(x(t)\)，其基频为 \(f_1=1/T\)。对 \(x(t)\) 进行傅里叶展开：

\[ x(t) = \frac{a_0}{2} +\sum^{\infty}_ {n=1} \left[ a_n \cos\left(2\pi n f_1 t \right) + b_n \sin\left(2\pi n f_1 t \right) \right] \]

上式中的 \(a_n\) 和 \(b_n\) 是傅里叶系数：

\[ a_n = \frac{2}{T} \int^T_ 0 x(t) \cos \left( 2\pi n f_1 t \right) dt \]

\[ b_n = \frac{2}{T} \int^T_ 0 x(t) \sin \left( 2\pi n f_1 t \right) dt \]

三角函数型的傅里叶变换也可以写成余弦函数形式（三参数）：

\[ x(t) = \frac{c_0}{2} + \sum^{\infty}_ {n=1} \left[ c_n \cos\left(2\pi n f_1 t + \varphi_n\right) \right] \]

其中：

\[ c_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \]

\[ \varphi_n = \mathrm{arctan}(-\frac{b_n}{a_n}) \]

指数型

欧拉公式建立了三角函数与指数之间的桥梁。

\[ \cos \left( 2\pi n f_1 t \right) = \frac{1}{2} \left[ e^{j2\pi n f_1 t} + e^{-j2\pi n f_1 t} \right] \]

\[ \sin \left( 2\pi n f_1 t \right) = \frac{1}{2j} \left[ e^{j2\pi n f_1 t} - e^{-j2\pi n f_1 t} \right] \]

将欧拉公式带入三角函数型的傅里叶变换后，令：

\[ X(2\pi n f_1) = \frac{a_n - j b_n}{2} \]

设\(f_1\)代表傅里叶变换后的基频，\(j\)表示虚数单位，则傅里叶变换可以写为： \[ x(t) = \sum^{\infty}_ {n=-\infty} X(2\pi n f_1) e^{ j 2\pi n f_1 t } \]

式中的 $X(2n f_1) $ 展开后为：

\[ \begin{gathered} X(2\pi n f_1) =\frac{1}{2} \left[ \frac{2}{T} \int^T_ 0 x(t) \cos \left( 2\pi n f_1 t \right) dt - \frac{2j}{T} \int^T_ 0 x(t) \sin \left( 2\pi n f_1 t \right) dt \right] \\\\ = \frac{1}{T} \int^T_ 0 x(t) \left[ \cos \left( 2\pi n f_1 t \right) - j \sin \left( 2\pi n f_1 t \right) \right] dt \end{gathered} \]

再利用欧拉公式，可得：

\[ X(2\pi n f_1) = \frac{1}{T} \int^T_ 0 x(t) e^{ -j 2\pi n f_1 t} dt \]

两者的联系

已知：

\[ X(2\pi n f_1) = \frac{a_n - j b_n}{2} \]

上式为复数，在复平面内可以被表示为：

\[ X(2\pi n f_1) = \frac{1}{2} \sqrt{a_n^2 + b_n^2} e^{j\mathrm{arctan}(-\frac{b_n}{a_n})} \]

其中\(\frac{1}{2} \sqrt{a_n^2 + b_n^2}\)为复数的模，\(\mathrm{arctan}(-\frac{b_n}{a_n})\)为复数的幅角。

观察此复数的模、幅角与三角函数型傅里叶变化间的异同可知，复数的模等于余弦信号$c_n (2n f_1 t + _n) $幅值的一半。

\[ |X(2\pi n f_1)| = \frac{1}{2} \sqrt{a_n^2 + b_n^2} = \frac{1}{2} c_n \]

复数的幅角等于余弦信号$c_n (2n f_1 t + _n) $初相位。

\[ \varphi_n = \mathrm{arctan}(-\frac{b_n}{a_n}) \]