质心_形心_重心

三者存在的条件

• 形心：目标具有几何外形；
• 质心：目标具有几何外形、具有质量；
• 重心：目标具有几何外形、具有质量、身处重力场。

质心

定义：质心是多质点系统的质量中心。 特点：若对该点施力，系统会沿着力的方向运动、不会旋转。 质心位置：质点的位置对质量取加权平均值，求得质心位置。

对于离散系统，三维物体的质心位置由下式求得：

\[ \bar{x} = \frac{\sum{x_k m_k}}{\sum{m_k}}, \bar{y} = \frac{\sum{y_k m_k}}{\sum{m_k}}, \bar{z} = \frac{\sum{z_k m_k}}{\sum{m_k}} \]

对于连续系统，上式推广为： \[ \bar{x} = \frac{\int_{\Omega}{x \rho} \rm{d}V}{\int_{\Omega}{ \rho} \rm{d}V}, \bar{y} = \frac{\int_{\Omega}{y \rho} \rm{d}V}{\int_{\Omega}{ \rho} \rm{d}V}, \bar{z} = \frac{\int_{\Omega}{z \rho} \rm{d}V}{\int_{\Omega}{ \rho} \rm{d}V} \]

其中，\(\rho\) 是物体的密度，为 \(x,y,z\) 的函数。上式为在物体所在空间 \(\Omega\) 进行体积分。

形心

定义：形心又被称为几何中心。形心是将该物体分成“矩”相等的两部分的所有超平面的交点。 形心位置：等价于取加权平均。

对于二维图形，形心位置由下式给出： \[ \bar{x} = \frac{\int{x f(x)}\rm{d}x}{\int{f(x)}\rm{d}x}, \bar{y} = \frac{\int{y f(y)}\rm{d}y}{\int{f(y)}\rm{d}y} \]

上式分子部分为 \(x\) 和 \(y\) 的一阶矩。其中，\(f(x)\) 为几何图形的横坐标位于 \(x\) 点时在 \(y\) 方向上的长度；\(f(y)\) 为几何图形的纵坐标位于 \(y\) 点时在 \(x\) 方向上的长度。

上式的等价形式为： \[ \bar{x} = \frac{\int_D{x}\rm{d}S}{\int_D{ }\rm{d}S} = \frac{\int_D{x}\rm{d}S}{A} \]

上式积分表示在几何图形所在二维空间 \(D\) 进行面积分；\(A\) 表示二维几何图形的面积。（\(y\) 方向写法与之类似）

将该式推广至三维空间可得： \[ \bar{x} = \frac{\int_\Omega{x}\rm{d}V}{\int_\Omega{ }\rm{d}V} = \frac{\int_\Omega{x}\rm{d}V}{V} \]

对比发现，上式积分中如果加入密度项，则得到的质心的坐标。即，对于密度均匀的物体，其质心和形心重合。

重心

定义：重心是重力作用的平均位置。 特点：各质点相对于重心的位置矢量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。

在均匀的重力场中，重心等同于质心。在非均匀的重力场中，质心和重心往往不在同一点。