通俗的理解何为变分
概述
我们可以从微分的概念出发理解变分。
微分：设有一个自变量 \(x\in(a,b)\) ，这个自变量的微小变化量记为 \(\mathrm{d}x\)，称为微分。此时我们关心的是，当自变量有微小变化 (\(\mathrm{d}x\)) 时，函数 (\(y(x)\)) 变化了多少。
变分：设有一个函数（泛函） \(I=G(y,y^{\prime})\)，其中 \(y=y(x)\) 是另一个函数（定义在某一个函数空间内是不确定的）。这个函数 \(y\) 的微小变化量记为 \(\delta y\)，称为变分。此时我们关心的是，当函数 \(y\) 有微小变化时，函数（泛函） \(I\) 变化了多少。
简而言之，变分就是微分在函数空间的拓展，其精神内涵是一致的。
泛函：是将函数空间（无限维空间）映射到数域，就是把一个函数映射成一个数。打个比方，从A点到B点有无数条路径，每一条路径都是一个函数。这无数条路径，每一条函数（路径）的长度都是一个数。从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的，就是求泛函的极值问题。
变分
假设我们有两个定点 \((a,p)\) 和 \((b,p)\)，连接这两点的任意曲线的方程 \(y=y(x)\) 都将满足如下的边界条件：
\[ y(a)=p,\quad y(b)=q \]
现在考虑如下形式的定积分：
\[ I=\int_{a}^{b} f\left(y, y^{\prime}\right) \mathrm{d} x \]
其中 \(f(y, y^{\prime})\) 是关于 \(y(x)\) 和它的一阶导数 \(y^{\prime}(x)\) 的函数，在实际问题中，我们有时需要找到一个具体的 \(y(x)\) 使得 \(I\) 有极值。
注意在一般的极值问题中，我们考察的是自变量 \(x\) 的变化：\(x\) 取值多少时，函数会有极值。这个新问题的不同之处在于，我们考察的是函数 \(y(x)\) 的变化：\(y(x)\) 是什么形式时，\(I\) 会有极值（\(I\) 称作函数 \(y(x)\) 的泛函）。然而这两类问题依然有共通之处：当 \(I\) 取极值时，对 \(y(x)\) 作微小的变化，\(I\) 在一级近似下应该保持不变。
如果 \(y(x)\) 有微小改变 \(\delta y(x)\)（高大上叫法：\(\delta y(x)\) 称作函数 \(y(x)\) 的变分），那么 \(f\left(y, y^{\prime}\right)\) 的变化为：
\[ \delta f=\frac{\partial f}{\partial y} \delta y+\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime} \]
\(I\) 相应的变化为：
\[ \delta I=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial f}{\partial y} \delta y+\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime}\right] \mathrm{d} x \]
方括号里的第二项可以改写成 \(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \frac{\mathrm{d}(\delta y)}{\mathrm{d} x}\)，然后可以进行分部积分:
\[ \int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \delta y^{\prime} \mathrm{d} x =\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \mathrm{d}(\delta y) = \frac{\partial f}{\partial y^{\prime}} \delta y {\bigg|} _{a} ^{b} -\int _{a} ^{b} \delta y \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\right) \mathrm{d} x \]
由于 \(y(x)\) 的边界条件固定，\(\delta y(a)=\delta y(b)=0\)，所以分部积分出来的第一项为零，仅第二项有贡献。上式化简为：
\[ \delta I=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\right)\right] \delta y(x) \mathrm{d}x \]
如果 \(I\) 有极值，对任意满足边界条件的 \(\delta y(x)\) 都必须有 \(\delta I=0\)，这就要求：
\[ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\frac{\partial f}{\partial y^{\prime}}\right)=0 \]
这便是 Euler-Lagrange 方程，它是变分法的核心定理。有了它，原则上就可以找出所寻求的极值函数 \(y(x)\)。
Euler-Lagrange 方程的应用：两点间最短路径问题、最速降曲线问题、悬链线等。
本文参考了以下博主分享的文章： * 浅谈变分原理 * 微分、差分和变分的概念有什么异同？